Теорема Миди

Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби $a/p$ (где $p$ — простое число) длина записи периода дроби состоит из $2n$ цифр, то есть:

${\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}},$

то

$a_{i}+a_{i+n}=9$

$a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.$

Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9.

Например,

${\frac {1}{17}}=0,{\overline {0588235294117647}},$ и $05882352+94117647=99999999.$

Расширенная теорема Миди

Пусть $h$ — число цифр в периоде десятичной записи дроби $a/p$ (где $p$ — простое число). Если $k$ — любой делитель числа $h$, теорему Миди можно обобщить. Расширенная теорема Миди постулирует, что если период десятичной записи дроби $a/p$ разделить на числа с $k$ цифр, то их сумма делится на 10^k − 1.

Например,

${\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}$

имеет период из 18 цифр. Разделив его на шестизначные числа, получаем:

$052631+578947+368421=999999.$

Аналогично, разделив на трехзначные числа:

$052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.$

Теорема Миди в системах с другим основанием

Теорема Миди не зависит от основания системы счисления. Для системы счисления, отличной от десятичной, в ней надо заменить 10 на основание системы — k, а 9 на k-1. Так, например, в восьмеричной системе счисления:

${\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}$

$032_{8}+745_{8}=777_{8}$

$03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Midy's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.